Brouwer の不動点定理

位相幾何学で登場する有名な不動点定理について書きます．

不動点とは，文字通り
連続写像によってある点を移したとき，自分自身へ移る点のことをいいます：
X を位相空間とし，f：X → X を連続写像とするとき，
f(x) = x となる点 x を f の不動点 (または固定点) という．

そして Brouwer の不動点定理とは，
Dⁿ を n 次元球体とし，f：Dⁿ → Dⁿ を連続写像とするとき，
f は少なくとも1つは不動点をもつ，
というものです．

低次元について直感的に理解することにします．

・n = 1 のとき：D¹ = [-1，1]．
正方形の向かい合う辺を結ぶ曲線 f は必ず対角線 x = f(x) と交わる
ことから分かります．
また，この場合は中間値の定理を使って証明することができます．

・n = 2 のとき：D² は普通の円板．
座標が描かれた2枚の紙があるとします．
一方の紙はそのまま置いておき，
他方の紙をクシャクシャにして2枚の紙を重ねます．
すると，2枚の紙が少なくとも1つの同一点で重なり合う，といった感じです．
(他方の紙を縮小して重ねても良いです)

・n = 3 のとき：D³ は普通の球体．
容器内の液体を掻き混ぜれば，混ぜた後の点で元の位置と変わらない点が
少なくとも 1 つ存在する，という感じです．
もちろん，元の点を掻き混ぜた後の点へ移す写像は連続としています．

数学で不動点定理といっても，幾つもあって
例えば Brouwer の不動点定理の一般化である角谷の不動点定理は
経済学を専攻している人なら恐らく常識と思われます．

Comments

更新したばっかみたいなので久々に。

2次元のときに、どうにかして不動点がないような
連続写像ができないかと妄想するのは、
誰もが通る道だよね。

あと、ある種の不動点の個数を数える
Lefschetzの不動点定理という便利なものもあります。

Posted by msb at 2008年10月17日 02:10

早速のコメント thanks．

> 2次元のときに、どうにかして不動点がないような
連続写像ができないかと妄想するのは、
誰もが通る道だよね。

そういう状況にまだ遭遇したことがないんで，これから妄想しようと思う．
Lefschetz の不動点定理は重要そうだな．

Posted by ともや at 2008年10月17日 08:49

へぇ〜
なんかこういうのは楽しいからどんどん書いてほしいです＾＾

> 誰もが通る道
これも妄想ですよね。

Posted by ｱｽﾞ at 2008年10月18日 01:44

> なんかこういうのは楽しいからどんどん書いてほしいです＾＾

次回はゲームの記事を UP する予定で
Brouwer の不動点定理がまたでてきます．

Posted by ともや at 2008年10月18日 09:51